Lehrende/r: apl. Prof. Dr. Stephan Klaus
Veranstaltungsart: Vorlesung
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Semesterwochenstunden: 2
Credits: 3,0
Unterrichtssprache: Deutsch
Min. | Max. Teilnehmerzahl: - | -
Voraussetzungen / Organisatorisches: Studierende ab dem 4. Semester Grundlagen der algebraischen Topologie, insbesondere Kenntnis der Definition und einfacher Eigenschaften der singulären (Ko-)Homologie eines topologischen Raumes, vor allem für Zellkomplexe.
Inhalt: In der algebraischen Topologie kann man einem topologischen Raum X seine singulären Kohomologiegruppen H^k(X;R) zuordnen. Diese Zuordnung ist ein kontravarianter Funktor, d.h. eine stetige Abbildung f: X -> Y induziert einen Homomorphismus der Kohomologiegruppen in umgekehrter Richtung. Auf diese Weise können topologische Fragestellungen in algebraische Probleme übersetzt werden. Dadurch erhält man in vielen Fällen Nichtexistenzaussagen für Räume oder Abbildungen mit speziellen Eigenschaften, weil das zugeordnete algebraische Problem keine Lösung besitzt. Je mehr algebraische Strukturen ein Funktor trägt, desto stärker ist diese Übersetzung von Problemen. Neben der additiven und multiplikativen Struktur auf H^*(X;Z/p) werden wir zusätzlich noch die Moduloperation durch die Steenrod-Algebra A der Kohomologie-Operationen einführen. Die nichtkommutative Algebra A und ihre natürliche Operation auf H^*(X;Z/p) erlauben dabei in vielen Fällen eine sehr weitgehende Übersetzung von topologischen in algebraische Probleme. Die Vorlesung wird eine übersichtsartige Einführung in die Theorie der Kohomologie-Operationen geben, wobei viele topologische Anwendungen, z.B. auf die Hopf-Invariante, Vektorfelder, Einbettungsprobleme von Mannigfaltigkeiten und Homotopiegruppen von Sphären besprochen werden.
Empfohlene Literatur: Mosher, R.E.; Tangora, M.C. Cohomology operations and applications in homotopy theory Harper's Series in Modern Mathematics (1968) Bredon, Glen E. Topology and Geometry Graduate Texts in Mathematics. 139. Springer (1997) Steenrod, N.E., D.B.A. Epstein Cohomology operations Annals of Mathematics Studies. Nr. 50. Princeton University Press (1962) Switzer, Robert M. Algebraic topology - homotopy and homology Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 212. Springer-Verlag (1975) Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes Annals of Mathematics Studies. No.76. Princeton University Press (1974)
