Lehrende/r: apl. Prof. Dr. Stephan Klaus
Veranstaltungsart: Vorlesung
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Semesterwochenstunden: 2
Credits: 3,0
Unterrichtssprache: Deutsch
Min. | Max. Teilnehmerzahl: - | -
Voraussetzungen / Organisatorisches: Es werden nur Grundkenntnisse der Mathematik vorausgesetzt (Analysis 1-2, Lineare Algebra 1-2).
Inhalt: 1. Das Assoziativgesetz besagt (xy)z = x(yz), daraus folgt die Unabh¨angigkeit von der Klammersetzung auch f¨ur mehr als 3 Faktoren. F¨ur 4 Faktoren gibt es 5 erlaubte Arten der Klammersetzung, f¨ur 5 Faktoren bereits 14. Auf wieviele Weisen kann man Klammern in einem Produkt von n Faktoren setzen? 2. B¨aume sind zusammenh¨angende Graphen ohne Zykel. Betrachte bin¨are B¨aume mit n Knoten, wobei ein Knoten als ”Wurzel” ausgezeichnet ist. Wieviele solcher B¨aume gibt es? Die Antwort wird in beiden F¨allen durch die Catalan-Zahlen gegeben, die auch in einigen anderen Zusammenh¨angen auftauchen. Der Beweis kann mit der erzeugenden Funktion dieser Fragestellung hergeleitet werden. Erzeugende Funktionen sind formale Potenzreihen, die mit den Anzahlen von kombinatorischen Strukturen gebildet werden. Dadurch kann man kombinatorische Eigenschaften in Funktional- oder Differentialgleichungen f¨ur erzeugende Funktionen verwandeln, die oft explizit gel¨ost werden k¨onnen. Die Vorlesung soll anhand vieler ber¨uhmter Beispiele einen ¨Uberblick dieser Theorie geben. Weitere Stichworte dazu sind z.B. Partitionen, Fibonacci- und Stirling-Zahlen, das Abz¨ahltheorem von Polya, das Theorem von Witt und kombinatorische Spezies. Erzeugende Funktionen spielen in vielen Bereichen der Mathematik eine große Rolle und geh¨oren daher zur ”mathematischen Allgemeinbildung”.
Empfohlene Literatur: (1) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press (1997) (2) Carl G. Wagner A First Course in Enumerative Combinatorics, AMS (2020) (3) Herbert S. Wilf Generatingfunctionology, Academic Press (1994)
Zugeordnete Lehrveranstaltungen: B.Sc, M.Ed., M.Sc.
Digitale Lehre: Update: Vorlesung findet in Präsenz statt!!!
