Lehrende/r: apl. Prof. Dr. Stephan Klaus
Veranstaltungsart: Vorlesung
Anzeige im Stundenplan: Top.Flächen
Semesterwochenstunden: 1
Credits: 1,5
Unterrichtssprache: Deutsch
Min. | Max. Teilnehmerzahl: - | -
Voraussetzungen / Organisatorisches: Voraussetzungen: Studierende ab dem 3. Semester Analysis 1-3 und Lineare Algebra 1-2.
Inhalt: Eine Fläche ist ein topologischer Raum, der lokal so aussieht wie die Euklidische Ebene. Man nennt dies auch eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Beispiele sind neben der Ebene die Oberfläche einer Kugel, eines Ellipsoids oder eines Ringes (neudeutsch "doughnut"). Es gibt aber noch kompliziertere Flächen von höherem Geschlecht oder nichtorientierbare Flächen wie z.B. Möbiusband, Kleinsche Flasche und projektive Ebene. Viele Flächen tragen durch ihre Konstruktion sogar eine Riemannsche Metrik und erlauben damit weitere geometrische und algebraische Begriffsbildungen wie z.B. ihre Krümmung. Wir werden in der Vorlesung die zusammenhängenden und kompakten Flächen topologisch klassifizieren und dabei auf weitere Invarianten wie die Eulercharakteristik und die Fundamentalgruppe stoßen. Für eingebettete Flächen ist der Jordan-Brouwersche Trennungssatz ein wichtiges Ergebnis. Für tiefergehende Fragestellungen spielt die Automorphismengruppe einer Fläche im geometrischen oder homotopischen Sinn eine wichtige Rolle. Dadurch erhält man Verbindungen zwischen der Abbildungsklassengruppe und der Teichmüller-Theorie. Schließlich kann man auch Schneide- und Klebeoperationen einführen und kommt so zur Bordismus-Theorie, zur topologischen Quantenfeldtheorie, bis hin zur Theorie der 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
Empfohlene Literatur: Topologie Tammo tom Dieck de Gruyter Lehrbuch, 2000 Topologie des Surfaces André Gramain Presses Universitaires de France, 1984 A Basic Course in Algebraic Topology William Massey Springer-Verlag 1991
